从流动的电磁测量理论出发,用交替迭代的方法求解三维条件下复杂域的Laplace方程,得到含有一个气泡时电磁流量计权函数中虚电流势的分布,并藉此研究气泡大小和位置对虚电流分布变化的影响和流量计可能产生的测量误差。
电磁流量计是一种重要的流量测量仪表。当导电流体(如水等)流过外加磁场时,在作切割磁力线运动。根据法拉第电磁感应定律,在流体中就会产生感应电动势,并且该感应电动势与流体速度成一定关系。因此,可以通过测量感应电动势的值来求出流体速度和流量。这就是电磁流量计测量流量的基本原理。
电磁流量计应用于多相流中时具有的优点,如对流速分布不太敏感,管道中无阻碍流动的部件等[1],但这种仪表的基本理论是建立在单相流上的。当流体中出现如油或气泡等非导电体时,会使感应电动势的分布发生变化。因此,必须进行理论分析,得到非导电相影响的规律。在简化的二维模型下,文献[2]和[3]分别求解了单个气泡处于流量计管轴线和横截面不同位置时虚电流的分布情况。但对于实际的三维问题,到目前为止还未见到有关文献报导。本文旨在求解在流量计中含有一个球形气泡的情况下虚电流的分布特性。研究结果可为多相流的电磁感应测量提供进一步研究的基础。
2 基础理论
由Maxwell方程及一定假设条件下可推得电磁流量计的基本方程:
式中:U是感应电动势;矢量V→是导电流体的流速;B→是磁感应强度。式(1)的积分方程为:
式中:U2-U1是两电极的电势差;A表示对所有空间积分;W→为矢量权函数,它是一个只由电磁流量计本身结构决定的量,其表达式为:
式中j→为虚电流密度,是一个完全由A上的电边界条件所决定的量。若被测流体内无电流源,则j→可用势G表示为:
虚电流是电磁流量计理论中一个重要的量。如果磁场是均匀的,则感应电动势的分布等于虚电流的势G乘以免数值为常量的磁场强度。当电磁流量计中含非导电体(如气泡)时,虚电流的势会受到影响,使分布变得复杂。如果气泡较高长时,作***可以在二维坐标系下分析解决;而气泡较高短时,只有在三维坐标系下进行研究。在此,作***研究只含一个气泡时的情况。对于含多个气泡的情况可在此基础上加以推广。如要知道虚电流势的分布情况,则需要求解三维的Laplace方程。在简单边界条件下,用分离变量法即可求得。复杂边界条件下,一般需要依靠数值解。但纯粹的数值解缺乏可分析性。这里我们采用文献[3]中所介绍的交替迭代法求解,其优点是解仍保持***数形式。
3 虚电流势的求解过程
理论模型如图1所示。
由于不能作***解同时满足式(6)的两个边界条件,所以先考虑满足部分边界条件的解。首先考虑没有气泡时,在柱坐标系下求解方程(5)。用分离变量法求得的通解为:
考虑流量计管壁是*绝缘的,在直径位置上有两个点电极(电极本身是良好导体),气泡是球形、非导电的,则虚电流的势满足以下边界条件:
式(7)和式(8)各自只满足边界条件式(6)的***半,完整的解必须满足所有的边界条件。通过形如式(7)和(8)求得完整解的过程就是文献[3]所介绍的交替迭代法。
在迭代计算中,必须在柱坐标和球坐标之间进行坐标变换。建立如下坐标系:以过电极的横截面中心点为原点o,建立直角坐标系(x,y,z);以气泡中心为原点o′,建立直角坐标系(x′,y′,z′),其中o′在直角坐标系(x,y,z)下的坐标为(x0,y0,z0),如图1所示。为了求解方便,还在(x,y,z)上建立柱坐标系(ρ,θ,z),在(x′,y′,z′)上建立球坐标系(r′,φ′,θ′)。从球坐标到柱坐标的变换:球坐标→直角坐标:
(2)根据下式作进一步迭代:
(3)将解(16)代入边界条件,得到该解在管壁边界上的误差e1和气泡表面边界上的误差e2分别为:
当N足够大时,e1、e2趋于***,GFin近似满足所给定的边界条件。这样,式(16)就是满足式(6)所有边界条件的一个近似***数解。
4 结果与讨论
根据上面所述的计算步骤和公式编写程序,完成计算工作。由于三维坐标下的等势图不便表达,所以这里取不同截面来表现求得的虚电流分布情况。计算中设管道半径R0=1·0,气泡半径r0=0·5。以下坐标位置都是在直角坐标(x,y,z)下表示。
(1)取气泡中心位于(0,0,0)、(-0·2,0·0,0·7)和(0,0,1·5)时,在x-z截面上虚电流势的分布图分别如图2(a)、(b)、(c)所示。
(2)气泡中心位于直角坐标(0·2,0·2,0·4)时,取z为0、0·4、0·7时的管道横截面的虚电流势分布图分别如图3(a)、(b)、(c)。
从图2和图3可以了解存在气泡时虚电流势分布的具体情况,还可以根据需要计算其它气泡直径、位置的情况。这对仪器设计以及详细研究气泡影响都有着重要意义。
(3)为了定量地考察气泡对流量计测量误差的影响,定义以下量:
式中:G、G0分别为有和无气泡时的虚电流势;x方向是电极连线方向;A是流量计有效体积。图4(a)表示不同直径的气泡沿着z轴不同位置时的c的变化,图中可看到气泡在电极横截面位置(z=0)上c***,而在上下游c逐渐减小。另外,同一位置上,c值随气泡直径增大较高快。图4(b)则是同天然气泡(r0/R0=0·5)偏离管中心轴不同程度时的c随z的变化情况,其中坐标x/R0=0·3比x/R0=0·2***靠近电极,前***的c值也比后***大许多。
(1)求得三维情况下含有单独球形气泡的电磁流量计虚电流势的分布特性。该结果对研究电磁流量计的多相流理论具有重要意义。
(2)由求得的虚电流的势对气泡在流量计不同位置下的影响进行研究,得到气泡产生测量误差的规律。
(3)在三维坐标系下,用交替迭代法解复杂边界条件下的Laplace方程,仅需迭代4~5次,便可达到很的精度。这说明了该迭代法不仅适用于二维计算,同时也适用于三维计算,有广阔的应用前景。